利用勾股定理求最短路径问题教学设计

数学组  徐威

一、教材和学情分析

     本节是义务教育课程标准人教版八年级（下）第十七章《勾股定理的应用》延伸的课题学习，详细内容是运用勾股定理解决立体图形表面两极点间最短路径问题。在这问题的解决过程中，需要经历立体图形转变为平面图形的过程，经过操作、观察、对照，培养学生的剖析、概括应用等能力；在打破难点时需要学生拥有敢于研究、勇于思考的精神，有助于锻炼学生独立思考，力闯难关的勇气。也经过转变思想、对照方法培养学生学习数学的基本素养。

二、教学目标

依据《数学课程标准》，以教材特点和学生认知水平为出发点，确定以下三个方面为本课时的教学目标：   

1.能运用勾股定理求最短路径问题。

2.学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念；在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想。

3.通过有趣的问题提高学习数学的兴趣；在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，体现人人都学有用的数学，增强自信心，体现成功感。

三、教学过程

（一）问题引入，开门见山

观看谷爱凌冬奥会夺冠视频，简介谷爱凌成就，特别是U型场地赛事大满贯，引导学生追随奥运冠军脚步再探U型场地赛场。问题引入：如图，这是冬奥会滑雪项目U型场地的部分示意图，其中可用于滑行部分的最大截面是直径为     米的一个半圆，其边界AB＝CD＝20米，点E在边界CD上，CE＝5米，如果一位滑雪爱好者从点A滑到点E，你能帮助这位滑雪者设计一个最短滑行路径吗？并求出最短滑行距离。

提出问题引入新课——利用勾股定理求最短路径问题

思前想后：在一块长40cm宽30cm的砧板上，蚂蚁要从点A处到B处觅食，试问这只蚂蚁要怎么选择路线最短？最短距离是多少？

集思广益：

我首先抛出一个“三级台阶”问题，以小蚂蚁为主角，请同学们帮助小蚂蚁找到最短路径并求值。

探究一:如图，一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是多少?

在解决这个问题之前，引导学生指出：找出最短路径需要“两点之间，线段最短”；求出最短路径需要用勾股定理。

（二）合作探究，获得新知

“三级台阶”问题较简单，同学们只需要将台阶展开，构造一个直角三角形就可以根据已知信息求值。所以这里我并未过多地讲解，只是引导学生通过教室的台阶去领悟直角三角形的两条直角边的长度，渗透数学建模思维。在学生求值之后，放手将课堂还给学生，请一位同学上讲台来为大家讲解。

探究二:如果把三级台阶换成棱长为1cm的正方体盒子，蚂蚁沿着表面从A点爬行到B点需要的最短路程又是多少呢?想一想爬行中需要经过哪些面?

解决完“三级台阶”问题，又引导学生将视线转移到正方体上。正方体的难度进一步加深，此处要先引导学生发现：要从A点到达B点最少要经过2个面；再让学生发散思维想象小蚂蚁要经过哪几个面？有几种可能性？有几种结果？学生自己动手发现有多种结果，这里请同学上来讲解他所发现的路径方式。学生在讲台上侃侃而谈，同学们也听得津津有味。最后教师和同学们一起总结：小蚂蚁有四种路径方式，但是只有一个结果。

三思而行 ：

变式:如果小蚂蚁爬行的不是一个正方体，是一块长、宽、高分别是6cm、4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径是多长?

然后将视线聚焦在长方体上，长方体较之正方体又加深了一层难度。同样放手让学生自己去探索有几种路径可能？又有几种结果呢？学生在探索中发现长方体也有多种可能。这里我让学生进行小组讨论，集齐每个人的力量，渗透分类讨论思想。讨论完之后请几位同学上台展示和讲解，并算出路径所对的结果。同学们发现长方体也有四种路径，但是有三种结果。引导学生说出：最后需要进行比较，选出最短的那条路径。

思有所得：

最短路径解题步骤：

1。把几何体展开成平面图形; 

2。寻找“起点”、“终点”；

3。再利用“两点之间线段最短”来找到最短路径；

4。用勾股定理来求最短路径的长度。

三思而行 ：

探究三：如图，在一个底面周长为10cm，高为12cm的圆柱石凳上，小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处沿曲面爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？最近的距离为多少？

慧心巧思 ：

1.    如图，圆柱的高为6cm,底面直径为cm,现有一只蚂蚁在圆柱杯子外面，距杯口2cm处的A点，要爬到杯子里面的B处捕食，求它爬行的最短距离。

2.    如图，圆柱体礼物盒高为20分米，底面周长为3分米，用彩色丝带自点A处缠绕而上，绕5周后其末端恰好到达点B处，求彩色丝带的最短长度?

学以致用 ：解决课堂开始提出的冬奥会U型池问题，让学生感受数学的应用价值。     

（三）归纳总结，拓展延伸

本节课我们通过三级阶梯到正方体到长方体再到圆柱体，让同学们逐渐掌握勾股定理与最短路径问题。

课堂小结：引导学生总结本节课用到了勾股定理、两点之间线段最短的数学知识；化曲为平的数学方法；数学建模、分类讨论的数学思想。

（四）德育渗透

学习“谷爱凌”顽强拼搏，敢于挑战自己的精神，将来也为我们的祖国贡献属于自己的一份力量。