数与形教学设计

汪清县第四小学校   化树山

一、教材分析：

《数与形》是人教版数学六年级上册第八单元《数学广角》的内容。

数形结合是一种非常重要的数学思想,把数与形结合起来解决问题可使复杂的问题变得更简单,使抽象的问题变得更直观。数与形相结合的例子在小学教材中比比皆是，但纵观教材并没有系统的教学数与形结合的内容,所涉及的练习也比较分散。因此,我理解的这节课的意图是:试图通过例1的学习让学生进一步体会数与形之间的内在联系,借助“形”沟通理解“从1开始的连续奇数的和等于加数个数的平方”。并能把数形结合的思想迁移到解决其他一些实际问题,帮助学生积累经验，从而实现由低段的感悟数形结合过渡到高段的能够运用数形结合解决问题的目标。

二、学情分析：

  小学六年级的学生已具备初步的逻辑思维能力,但仍以形象思维为主。教材在小学中年级的数学教学中,已经逐渐借助推理与知识迁移来接触,并结合教材挖掘、创造条件开始渗透数形结合思想，进入中高年级后,学生逻辑思维能力已有一定发展。但尽管在以前的学习中,曾经出现过一些有关数与形的练习,学生结合“形”来分析问题有一定的基础，但本章编排的几道习题都属于思考题甚至竞赛题,对普通学生来说要求偏高。因此本节课我由学生最熟悉的形入手，并安排了让学生观察、动口、动脑、动手等活动。

教学目标：

1.让学生经历观察、猜想、验证、归纳等活动，发现图形中隐含着数的规律，培养学生数形结合的思想意识。

2.帮助学生借助“形”来直观感受与“数”之间的关系，体会数与形的联系，进一步积累数形结合解决问题的活动经验。

3.体验数形结合的数学思想方法价值，激发学生用数形结合思想方法解决问题的兴趣，感受数学的魅力。

三、教学重点、难点

教学重点：借助“形”感受与“数”之间的关系，引导学生探索、发现规律，培养学生用“数形结合”的思想解决问题。

教学难点:在探究过程中积累基本的活动经验，感悟数形结合、归纳推理的数学思想。

一、谈话引入

师：（出示课题）同学们，我们一起读课题  。                         

生：数学广角——数与形

师：数学里面的“数”包含什么？   

生：自然数，整数，分数，小数，算式…

师：“形”包含什么？

生：正方形，长方形，三角形，梯形，正方体，长方体，运算符号…

师：今天我们一起来研究“数与形”

（板书：数与形）

二、新授内容

（一）    形中藏数

1、（课件出示一组图形：先出示图形，留给学生观察的时间，然后再出示要求。）

师：仔细观察这组图形，你能用“数”来表示在“形”中发现的规律吗？

生1：我可以用“数”来表示发现的规律。

生2：我可以用“式子”来表示发现的规律。

学生独立观察，研究，记录。

师巡视，进行个别交流，并选择不同的规律写到黑板上。

2、交流

师：我们一起来看看这三位同学发现的规律。

（1）1、4、9、16

师：结合图形，1、4、9、16这四个数表示什么意义？哪位同学给大家讲讲这些数的意义？          

生：1表示第一幅图形里面有1个正方形，4表示第二幅图形里面有4个小正方形，9表示第三幅图形里面有9个小正方形，16表示第四幅图形里面有16个小正方形。

师：大家听明白他的解释了吗？

生：听明白了。

师：我们可以通过“数的方式”来表示每幅图形里面包含小正方形的数量。（板书：数一数）

（2）1×1=1   2×2=4   3×3=9   4×4=16

师：第二位同学用“1×1   2×2  3×3   4×4”这样的式子表示自己发现的规律，他的表达你明白吗？哪位同学说给大家说一说你的理解？

生：第一幅图形横竖都是一个正方形，所以用1×1表示，一共有1个小正方形，第二幅图形横竖都是两个正方形，所以用2×2表示，一共有4个小正方形，第三幅图形横竖都有3个正方形，所以用3×3表示，一共有9个小正方形，第四幅图形横竖都有4个正方形，所以用4×4表示，一共有16个小正方形。

师：这位同学的解释，大家能听明白吗？

生：能听明白。

师：第二位同学发现规律的角度与第一位同学不一样，根据图形的特点，我们可以通过“1×1   2×2  3×3   4×4”这样“乘一乘”的方式也能得到每个图形中包含的小正方形数量。（板书：乘一乘）

（3）1   1+3=4  1+3+5=9   1+3+5+7=16

师：第三位同学发现的规律很独特，大家结合图形认真观察一下，你能看懂这位同学的表达吗？同桌两人可以相互交流自己的想法。

生：能！

师：谁愿意与大家分享一下你对这组算式的理解？

生：1表示第个图形里面有一个正方形；1+3表示在第一幅图形的基础上又加上三个小正方形，一共四个小正方形；1+3+5表示在第二幅图形的基础上再加上5个小正方形，一共是9个小正方形；1+3+5+7表示在第三幅图形的基础上再加上7个小正方形，一共是16个小正方形。

师：为了更清晰的表示出这些加数所对应的的小正方形的数量，我们用不同的颜色标识一下。（课件演示逐一累加的过程）

师：我们也可以这样加一加，得到每幅图形中包含的小正方形的数量。（板书：加一加）

师：我们比较一下三位同学发现的规律：同样一组图形，我们可以用不同的数来表示。（板书：形中藏数）虽然观察角度不同，但是我们能够在三位同学发现的规律中感受到数与数之间是有紧密联系的。大家看！4    2×2   和1+3，它们有什么关系？

生：它们有相等关系：4 = 2×2=1+3，其它的三组也具有这样的相等关系。

师：数与数之间有这样的相等关系，并且在第三位同学的表达方式中我们也能感受到图与图之间也是有联系的。

（二）数中显形

1、师：如果我们按照刚才发现的规律继续思考，1+3+5+7+9这个式子你会想到哪些数与形呢？大家不要着急，如果没有想好，小组内先讨论，然后再把自己想到的记录下来。

师：看见算式，你会想到什么？哪位同学愿意与大家分享？

生1：我会想到边长为5的正方形。

师：看到数能想到形，真了不起。你说说是怎样想的？

生1：根据刚才的学习过程，比如1对应着1个正方形，1+3对应着边长为2的正方形，1+3+5对应着边长为3的正方形，1+3+5+7对应着边长为4的正方形，所以按照这种推理我们可以想到1+3+5+7+9对应着边长为5的正方形。

师：谁的想法和他一样，举手示意一下。

生举手。

师：能够用到刚才的研究来继续学习，推理过程非常清晰。我们看一看1+3+5+7+9对应的图形。（出示大正方形）

生2：我还会想到5×5。

师：你是怎样想的？和大家分享一下。

生2：根据刚才的研究我发现，1，就是一个加数，对应着1×1=1,；1+3两个加数对应着2×2=4；1+3+5三个加数对应着3×3=9；1+3+5+7四个加数对应着4×4=16；按照这样的规律，我们继续往下想1+3+5+7+9这个加法算式是5个加数，应该对应着5×5=25。

师：如果继续往下想的话，你还可以得到什么？

生2：加数是几个，它们的相加的和就是几的平方。

师：真厉害，从数中也能找到规律，用发现的规律帮我们继续解决问题。

生3：我会想到25。

师：你是怎样想的？和大家分享一下。

生3：根据刚才的研究，我可以想到1+3+5+7+9这个算式对应着边长为5的正方形，所以用5×5得到25，这样算起来比较简便。

师：利用“形”的帮忙很快得到它们相加的和，非常简便。 

2、（课件出示7²）

师：看见7²，你又会想到什么？       

生1：看见7²，我会想到边长为7的正方形。

师：我们一起看这个边长是7的正方形。（课件出示）

生2：和是49。

师：你是怎样得到的？

生：借助边长是7的正方形来算就更简便。

生3：我可以想到1+3+5+7+9+11+13，7个从1开始的连续奇数相加的算式。

3、（课件出示）那100呢？你还会想到什么？

生1：想到10的平方；

生2：想到边长为10的正方形；

生3：想到一个从1开始的连续10个奇数相加的算式。

师：咱们一起来写一写这个加法算式。

生一起写1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10²=100。

4、师：如果我们像这样（指着1+3+5+7+9+11+13+15+17+19），从1开始n个连续加数的相加的和等于多少？

生：n的平方。

板书：从1开始，n个连续加数相加的和=n²

师：我们一起回顾刚才研究过的内容：看见图形，我们能够用不同的数来表达；看见数或者式子，同样能够借助图形来理解。大家说说“数与形”有关系吗？

生：有！

师：数中有形，形中有数，形中藏着抽象的数，数里含有直观的形。它们彼此相互帮助。

设计意图：引导学生经历观察、猜想、验证、思考、归纳等研究过程，，让学生亲历从“形”到“数”的整个过程，利用数形对照，观察图形变化规律，探究数的变化规律。课堂上，老师给予学生充分的时间思考和表达，经历直观的“形”解释抽象的“数”，抽象的“数”理性表达直观的“形”的过程。再也不是“数是数，形是形”，而是“形中有数，数中有形”。

三、巩固练习

师：大家看，像这样1、4、9、16、25的数，我们把它们成为平方数，也因为它们所对应的小正方形能够拼成大小不等的正方形，所以古希腊的毕达哥拉斯学派把它们也称为正方形数。看，他们喜欢用小石子来表示，出示课件，正方形数9还可以1+2+3+2+1=3²,知道是怎样观察的吗？其它正方形数可以用这样的形式表示吗？有新的发现吗？

如果把我们刚才拼摆出的四幅图形调整一下方向，变成这样！（出示下图）按照刚才的思考方式来观察此时直线上方的图形，你有什么发现呢？

生：我看到第一行有1个，第二行有2个，第三行有3个，第四行有4个，一共有10个小石子。

师：这些小石子摆出了什么样的图形呢？

生：三角形。

师：所以，1，3，6，10……也可以被称为什么数？

生：三角形数。

师：数学家们也是这样想的！通过观察、发现和思考，我们借助图形发现了这些有趣的数，找到了这些数的“特点”，这些有趣的数构成了有特点的图形。2500多年前的数学家们也发现了这些数的“奥秘”。

师：虽然数学史的相关书籍中没有详细记载“数和形”故事的具体情节，但在世界数学史上，正是“毕达哥拉斯学派”首次建立了数和形之间的联系。他们认为，数为宇宙提供了一个概念模型，数不但有量的多少，而且具有几何形状。师：除了“三角形数”、“正方形数”，数学家们通过观察和思考，还发现了“五边形数”、“六边形数”、“立体数”，等等。这些能摆成不同的几何图形，即有形状的数，我们也称为“形数”。（课件展示）

师：对于在图形中发现有规律的数，大家觉得很奇妙。其实，这些形数，如三角形数、正方形数、立体数等，它们之间还有互相转化的关系。如果把“三角形数”1，3，6，10，15，21，28，36……一层一层摞起来，就可以形成“四面体数”1，4，10，20，35，56，84，120……大家能想象出来吗？（课件展示）

师：同样，如果把“正方形数”1，4，9，16，25，36，49，64……一层一层摞起来，就可以形成“金字塔数”1，5，14，30，55，91，140，204......

师：三角形数、正方形数、四面体数、金字塔数，都是“数与形”的结合与发展，它们既朴实无华又奥妙无穷。

设计意图：本环节利用“数与形”的数学故事及“形数理论”，引导学生通过“以形找数、以数构形”的操作活动，由直观观察逐步提升到抽象思考，并在发现规律中构建“正方形数”、“三角形数”等数学模型。此过程既揭示了“形数”知识的探究过程，又让学生全面而充分地感受了“数形结合”思想的形成与发展。

四、回顾旧知。

师：其实我们早就研究过“数与形”，以前我们学习过很多的有关“数与形”的知识。比如五年级的数学广角里面的植树问题，我们是利用线段图来直观理解植树问题的棵数与间隔数的对应关系；六年级的分数乘分数，我们同样利用画图的方式来理解其中抽象的算理。

师：本节课即将结束，今天我们一起研究了“数与形”的关系，通过研究我们可以感受到数能准确的表达事物，形能直观的表达事物。数形不分家，谁也离不开谁。不仅数学书里面有数与形，自然界里同样隐藏着很多的数学。（课件欣赏斐波那契螺旋线）

老师祝愿大家在今后的日子里能够用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界。

教学反思：

1.准确的学习目标，确定研究的整体过程

本节课的首要学习目标定位在“以形找数、以数构形”的数学文化学习中，引导学生经历观察、猜想、验证、思考、归纳等研究过程，体会数形结合、归纳推理等基本数学思想。而“通过自主探究发现图形中隐藏着的数的规律，并会应用所发现的规律感受数与形之间的联系，能够解决有关问题”的知识目标，会在学生自主研究的过程中自然获得。过度关注“发现规律、应用规律”将会使真实的学习过程本末倒置。同时，情感、态度、价值观目标“学习数学文化知识，激发学习兴趣，感受数学魅力，体会数学美感，发展提出问题、分析问题及解决问题的能力”，也会在此过程中逐步达成。

2.可突破的学习难点，加速认知的大幅提升

曹培英老师认为：“将数学史融人数学教育，除了激发学习兴趣、了解历史背景，还要注意从历史中鉴别认识过程的关键节点和障碍点。”本节课的学习重点，是借助“形”感受其与“数”之间的关系，引导学生探索、发现规律，培养学生用“数形结合”思想解决问题的能力。学习的难点是在“以形找数”中，借助前三幅图形，发现1→1+3→1+3+5的变化规律。这需要教师有意提示学生将三幅图形进行关联，在观察与思考中发现规律，突破难点，促使学生自主拼摆出以此规律生成的第四幅图形。这正像皮亚杰提到的“如果我们只在儿童面前演示，而不让他们自己操作，就失去了动作本身所含有的信息价值”。

3.有效的评价活动，促进理解的持续深入

在巩固应用环节，多数教师会安排类似1+3+5+7+9=(   )²或7²=(   )+(    )+……的练习内容，学生在解决这类问题时，往往会将规律直接应用，而抛弃利用“数”中的“形”去帮助思考。本节课选择的两道题目，紧紧围绕学习中心目标展开。例如，第一道题目，借助前面对“形数”知识的探究与思考，学生较容易得到三角形数和正方形数的结果，而五边形数需要学生根据提示，结合具体图形去发现规律。